第三百三十三章 莫比乌斯反演（数论）

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯自打跟克莱因讨论的翻转这个事情以来，自己在很多问题上都想找到各种奇思妙想的翻转。

其中一个是关于数论中因子分解的翻转，就是莫比乌斯反演。

莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。

莫比乌斯研究如下函数：

f(1)=f(1)

f(2)=f(1)+f(2)

f(3)=f(1)+f(3)

f(4)=f(1)+f(2)+f(4)

f(5)=f(1)+f(5)

f(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)

f(7)=f(1)+f(7)

f(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)

反演变化过来时以下情况：

f(1)=f(1)

f(2)=f(2)-f(1)

f(3)=f(3)-f(1)

f(4)=f(4)-f(2)

f(5)=f(5)-f(1)

f(6)=f(6)-f(3)-f(2)+f(1)

f(7)=f(7)-f(1)

f(8)=f(8)-f(4)

后来的莫比乌斯函数用在黎曼猜想j（x）公式里。

u(1)= 1

u(n)= 0 (如果 n 可以被任一素数的平方整除)

u(n)=-1 (如果 n 是奇数个不同素数的乘积)

u(n)= 1 (如果 n 是偶数个不同素数的乘积)。

因此知道了 j(x)就可以计算出π(x)，即素数的分布函数。把这些步骤连接在一起，我们看到，从 ζ(x)到 j(x)，再从 j(x)到π(x)，素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了 riemann ζ函数之中。这就是 riemann 研究素数分布的基本思路。

莫比乌斯反演用在黎曼猜想上，就充分说明了在黎曼猜想上，有一个更加深刻的反演的东西，这也许是莫比乌斯和克莱因要寻找的那种反演的东西。